P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets（最大不能表示数，结论题）

题目描述农夫布朗的奶牛们正在进行斗争因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看”奶牛们说“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1N10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1i256)输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限则输出0。 不能买到的最大块数倘它存在不超过2,000,000,000。输入格式第1行: 包装盒的种类数N第2行到N1行: 每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数输出格式输出文件只有一行数字顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或0(如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限)。输入输出样例输入 #1复制33610输出 #1复制17说明/提示题目翻译来自NOCOW。USACO Training Section 4.1思路一个结论是gcd(a,b)1gcd(a,b)1gcd(a,b)1时a,ba,ba,b最大不能表示数为ab−a−bab-a-bab−a−b本题实际上构成nnn元变量的线性方程x1∗a1x2∗a2x3∗a3...xn∗ancx1*a1x2*a2x3*a3...xn*ancx1∗a1x2∗a2x3∗a3...xn∗anc当gcd(a1,a2,a3,...,an)dd!1gcd(a1,a2,a3,...,an)dd!1gcd(a1,a2,a3,...,an)dd!1时很明显线性方程组的解为ddd的正整数倍。那么没有最大可以构成的数。而d0d0d0时理论上是可以表示出任意数。但限制条件是x1≥0,x2≥0,x3≥0...xn≥0x1≥0,x2≥0,x3≥0...xn≥0x1≥0,x2≥0,x3≥0...xn≥0不过我们已知两个变量时候的结论假设存在gcd(ak1,ak2)1gcd(ak1,ak2)1gcd(ak1,ak2)1扩展到多个变量最大不能表示数只能更小不能再更大。这个好想有了更多变量的帮助结果肯定变小。但是对于6,10,156,10,156,10,15这类数不存在任意两个gcdgcdgcd为1但整体gcdgcdgcd为1还不清楚怎么解决。下面转载了 洛谷 HigHwind大佬 的反证。之后就背包来找表示数就可以了。如果大于256*256-256-25665024就说明超过上限。而1≤ai≤2561≤ai≤2561≤ai≤256保证如果没有最大不能表示数很大很大时在大于65024小于100000的范围内一定可以找到不能表示数。#includecstdio#includecstring#includeiostream#includealgorithminta[300],vis[100000];intmain(){intn;scanf(%d,n);//65023for(inti1;in;i)scanf(%d,a[i]);vis[0]1;for(inti1;in;i){for(intja[i];j100000;j){vis[j]vis[j]|vis[j-a[i]];}}intans0;for(inti100000;i0;i--){if(!vis[i]){ansi;break;}}if(ans65024)ans0;//256 * 256 - 256 * 2 65024.可以更大因为没有上限。不可以更小。printf(%d\n,ans);return0;}