最核心的目的就是为了强行套用公式。在数学里我们称之为**“凑型”**或者构造公式所需要的结构。如果把这个逻辑彻底剥开原因只有两步1. 为什么“不得不”套公式因为原式 x \cdot \sin\left(\frac{5}{x}\right) 在 x \to \infty 时是 \infty \cdot 0 型。对于 \infty \cdot 0 这种形态数学上没有任何直接的四则运算法则可以算它。无穷大乘以零结果可能是 0可能是无穷大也可能是任何常数。我们直接看是看不出答案的陷入了死胡同。要想打破这个死胡同我们就必须借助已知的、能直接给答案的定理。而含有三角函数正弦\sin的最强力武器就是重要极限公式2. 怎么才能套上这个公式这个公式像一把锁它对钥匙的要求极其严苛* 要求一\sin 括号里必须趋于 0。这道题里 \frac{5}{x} \to 0满足条件* 要求二分母上必须有另外一把一模一样的钥匙现在的问题是题目原本只有分子上的 \sin\left(\frac{5}{x}\right)分母上空空如也根本没有公式需要的那个分母。为了凭空变出公式需要的分母数学家就利用了恒等变形的无赖招式把前面的 x 强行写成 \frac{1}{\frac{1}{x}}。你看这一步变形没有任何高深的物理意义它纯粹是一场为了迎合公式“长相”而进行的整容。一旦把它塞进分母变成了 \frac{1}{x}分母上就终于有了和 \sin 括号里互为“双胞胎”的结构再补个常数 5 就完全一样了。这时候公式的大门才对你敞开你才能直接把这一大堆复杂的式子整体抹掉变成简单的数字 1。总结来说把 x 扔到分母做成 \frac{1}{x}没有任何别的原因就是为了凑出公式所强制要求的“分母结构”。在微积分里这种为了套公式而故意把简单的乘积写成复杂的繁分数的技巧被称为“化 \infty \cdot 0 型为 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} 型”的标准套路。
