这个不等式的推导过程是通过对基础不等式进行两步简单的代数运算得到的具体步骤如下第一步利用正弦函数的有界性由于正弦函数的值域始终在[−1,1][-1, 1][−1,1]之间因此对于任意实数其正弦值都满足这个范围。所以我们有−1≤sin(11x7)≤1-1 \le \sin(11x^7) \le 1−1≤sin(11x7)≤1第二步三边同时乘以xxx因为我们讨论的是x→∞x \to \inftyx→∞时的极限所以可以限定x0x 0x0即xxx为正数。当不等式的各部分同时乘以一个正数时不等号的方向保持不变。因此我们将上式的左、中、右三部分同时乘以xxx−1⋅x≤x⋅sin(11x7)≤1⋅x-1 \cdot x \le x \cdot \sin(11x^7) \le 1 \cdot x−1⋅x≤x⋅sin(11x7)≤1⋅x化简后得到−x≤xsin(11x7)≤x-x \le x \sin(11x^7) \le x−x≤xsin(11x7)≤x第三步三边同时减去12\frac{1}{2}21为了构造出目标分子我们需要在中间项减去12\frac{1}{2}21。由于不等式各部分同时加上或减去同一个常数时不等号方向保持不变我们将左、中、右三部分同时减去12\frac{1}{2}21−x−12≤xsin(11x7)−12≤x−12-x - \frac{1}{2} \le x \sin(11x^7) - \frac{1}{2} \le x - \frac{1}{2}−x−21≤xsin(11x7)−21≤x−21这就是书中该不等式的由来。其核心在于利用了x0x 0x0这一条件从而在同乘以xxx时无需改变不等号的方向。
